게임 수학8 게임 수학 | 4부 4차원 수학과 캐릭터 | 14장 복소수 14장 복소수: 2차원 평면의 수 14.1 복소수 ■ 14.1.1 복소수 복소수(complex number, C) 복소수는 실수부(real part)와 허수부(imaginary part)로 구성된 수 집합을 말한다. a + bi, (a, b) 허수 단위(imaginary unit)인 기호 i의 제곱은 -1이다. 켤레 복소수(Conjugate, c*) 임의의 복소수 a + bi의 켤레 복소수는 a - bi이다. c = a + bi, c* = a - bi cc* = a^2 + b^2 복소수의 크기(norm) |(a, b)| = |(a, -b)| = √ (a^2 + b^2) 크기가 1인 복소수를 단위 복소수(unit complex number)라고 한다. 단위 복소수의 곱셉 역원은 켤레 복소수다. ■ 14.1.. 2023. 3. 23. 게임 수학 | 3부 3차원 콘텐츠 제작 | 12장 원근 투영 12장 원근 투영: 화면에 현실감을 부여하는 변환 12.1 원근 투영 변환의 원리 원근 투영 변환(perspective projection transformation) 정육면체 형태의 뷰 공간을 카메라의 한점으로 모이는 사각뿔 형태의 공간으로 변환하는 작업이다. 화각(field of view)은 카메라에 설정한 눈에 보이는 사각뿔 영역의 범위를 말한다. 투영 평면(projection plane)은 모든 물체의 상이 맺히는 가상의 평면으로 상하좌우가 모두 [-1, 1]이다. 초점 거리(focal length)는 카메라로부터 투영 평면까지의 거리를 말한다. NDC(normalized device coordinate)는 투영 평면에 대응하는 정사각형 영역인 2차원 평면의 좌표계를 말한다. 원근 투영 행렬(P).. 2023. 3. 14. 게임 수학 | 3부 3차원 콘텐츠 제작 | 11장 외적 11장 외적: 3차원 공간의 분석과 응용 11.1 벡터의 외적 벡터의 외적은 3차원 공간에서 두 벡터가 주어졌을 때 다른 성분을 결합하여 만드는 벡터 연산이다. 외적의 결과는 두 벡터에 직교하는 3차원 벡터다. ■ 11.1.1 외적의 성질 외적은 분배 법칙이 성립하지만, 교환 법칙과 결합 법칙은 성립하지 않는다. 같은 벡터를 외적하면 영 벡터가 나온다. 내적 외적 결과 스칼라 벡터 교환 법칙 O X 결합 법칙 X X 분배 법칙 O O 연산 같은 위치의 요소만 사용 다른 위치의 요소만 사용 ■ 11.1.2 외적과 삼각함수와의 관계 두 벡터 u, v의 사잇각을 θ라고 할 때 외적과 sin 함수의 관계는 다음과 같다. 외적의 크기는 두 벡터의 사잇각에 대한 sin 함수와 비례한다. 외적의 크기는 두 벡터가 만.. 2023. 3. 8. 게임 수학 | 3부 3차원 콘텐츠 제작 | 10장 3차원 공간 10장 3차원 공간: 입체 공간의 생성10.1 3차원 공간의 설계3차원 공간 좌표계는 두 가지로 구분한다.오른손 좌표계(right-handed coordinate system)왼손 좌표계(left-handed coordinate system) 3차원 공간 좌표계를 설명할 때 좌표계와 위아래 방향을 담당하는 축의 정보를 알려준다.유니티(unity)는 y업 왼손 좌표계를 사용한다.언리얼(unreal)은 z업 왼손 좌표계를 사용한다. 10.2 3차원 공간의 트랜스폼■ 10.2.1 오일러 각오일러 각(euler's angle)은 3차원 공간에서 물체가 놓인 방향을 세 개의 각을 사용해 표시하는 방법이다.오일러 각은 표준기저벡터를 중심으로 회전하는 각의 크기를 3차원 벡터로 표현한다.(θx, θy, θz) 표준기.. 2023. 2. 27. 게임 수학 | 2부 콘텐츠 제작 기초 | 09장 게임 엔진 09장 게임 엔진: 콘텐츠를 만드는 기초 9.1 게임 엔진의 구성 요소 게임 엔진 인터페이스는 두 작업 공간으로 나뉜다. 게임 공간을 설계하는 작업 공간인 신(scene) 혹은 레벨(level) 게임 데이터를 관리하는 작업 공간인 리소스(resource) 혹은 애셋(asset) ■ 9.1.1 신의 구조 신에서 콘텐츠를 구성하는 기본 단위는 게임 오브젝트(game object) 혹은 액터(actor)이다. 게임 오브젝트의 배치 정보는 위치, 회전, 크기로 구성된 트랜스폼(transform)으로 관리한다. 트랜스폼 정보로부터 모델링 행렬을 설계해 렌더링할 물체의 정점을 변환한다. ■ 9.1.2 2차원 모델링 행렬 모델링 행렬(modeling matrix)은 크기(S), 회전(R), 이동(T)에 대한 세 가지.. 2023. 2. 20. 게임 수학 | 2부 콘텐츠 제작 기초 | 08장 삼각형 08장 삼각형: 물체를 구성하는 가장 작은 단위 8.1 세 점의 결합 ■ 8.1.1 아핀 결합 세 점 P1, P2, P3를 아핀 결합하는 경우 P' = s · P1 + t · P2 + (1 - s - t) · P3 ↔ w = s · u + t · v 세 점의 아핀 결합은 2차원 평면을 만든다. 네 점 P1, P2, P3, P4를 아핀 결합하는 경우 x = a · u + b · v + c · w 네 점의 아핀 결합은 3차원 공간을 만든다. ■ 8.1.2 컨벡스 결합 아핀 결합에서 모든 스칼라 값을 [0, 1] 범위로 한정한 결합을 컨벡스 결합(convex combination)이라고 한다. 컨벡스 결합으로 만들어진 영역을 컨벡스 영역(convex region)이라고 한다. 컨벡스 영역은 임의의 두 점을 연.. 2023. 2. 18. 게임 수학 | 2부 콘텐츠 제작 기초 | 07장 내적 07장 내적: 벡터 공간의 분석과 응용 7.1 벡터의 내적 벡터의 내적은 같은 차원의 두 벡터가 주어졌을 때 벡터를 구성하는 각 성분을 곱한 후 이들을 더해 스칼라를 만드는 연산이다. 내적의 결과는 스칼라다. ■ 7.1.1 내적의 성질 내적은 교환 법칙과 분배 법칙이 성립하지만, 결합 법칙은 성립하지 않는다. 같은 벡터를 내적하면 그 벡터의 크기를 제곱한 스칼라가 나온다. 내적 외적 결과 스칼라 벡터 교환 법칙 O X 결합 법칙 X X 분배 법칙 O O 연산 같은 위치의 요소만 사용 다른 위치의 요소만 사용 ■ 7.1.2 내적과 삼각함수와의 관계 두 벡터 u, v의 사잇각을 θ라고 할 때 내적과 cos 함수의 관계는 다음과 같다. 내적은 두 백터의 사잇각에 대한 cos 함수와 비례한다. 두 벡터의 내적이.. 2023. 2. 17. 게임 수학 | 2부 콘텐츠 제작 기초 | 06장 아핀 공간 06장 아핀 공간: 움직이는 가상 세계의 구축 6.1 아핀 공간 벡터 공간에서 이동 변환을 행렬 곱으로 표현하기 위해서 마지막 차원 값을 1로 한정한 부분 공간을 아핀 공간(affine space)라고 한다. 원래 행렬 곱으로는 이동 변환을 표현할 수 없다. 하지만 차원 값이 항상 1인 새로운 차원을 도입하면 가능하다. 이동 변환 행렬(translate transformation matrix) 이동 변환 행렬은 선형 변환의 일종인 전단 변환을 응용한 것이다. 1차원에서 y = 1이라는 조건에서 a만큼 미는 전단 변환은 x + a로 나타난다. 2차원에서 z = 1이라는 조건에서 (a, b)만큼 미는 전단 변환은 (x + a, y + b)로 나타난다. n차원에서 n + 1차원으로 차원을 높여 설계한 선형 변.. 2023. 2. 17. 이전 1 다음
