14장 복소수: 2차원 평면의 수
14장 복소수: 2차원 평면의 수
14.1 복소수
■ 14.1.1 복소수
- 복소수(complex number, C)
- 복소수는 실수부(real part)와 허수부(imaginary part)로 구성된 수 집합을 말한다.
- a + bi, (a, b)
- 허수 단위(imaginary unit)인 기호 i의 제곱은 -1이다.
- 켤레 복소수(Conjugate, c*)
- 임의의 복소수 a + bi의 켤레 복소수는 a - bi이다.
- c = a + bi, c* = a - bi
- cc* = a^2 + b^2
- 복소수의 크기(norm)
- |(a, b)| = |(a, -b)| = √ (a^2 + b^2)
- 크기가 1인 복소수를 단위 복소수(unit complex number)라고 한다.
- 단위 복소수의 곱셉 역원은 켤레 복소수다.
■ 14.1.2 복소수의 성질
| 연산의 성질 |
만족 여부 |
예시 |
| 덧셈에 대해 닫혀 있음 |
O |
. |
| 교환 법칙 |
O |
. |
| 결합 법칙 |
O |
. |
| 항등원 |
O |
(a, b) + (0, 0) = (a, b) |
| 역원 |
O |
(a, b) + (-a, -b) = (0, 0) |
| 연산의 성질 |
만족 여부 |
예시 |
| 곱셉에 대해 닫혀 있음 |
O |
. |
| 교환 법칙 |
O |
. |
| 결합 법칙 |
O |
. |
| 분배 법칙 |
O |
. |
| 항등원 |
O |
(a, b) × (1, 0) = (a, b) |
| 역원 |
O |
(a - bi) / (a^2 + b^2) |
14.2 복소 평면
- 복소 평면(complex plane)은 복소수를 표현하기 위해 실수부에 해당하는 실수축과 허수부에 해당하는 허수축을 직각으로 교차시킨 평면을 말한다.
그림 14-1 복소 평면 위의 단위 복소수
■ 14.2.1 단위 복소수와의 곱
- 임의의 단위 복소수 (a, b)는 다음과 같은 삼각함수로 표현할 수 있다.
- a + bi = (a, b) = cosθ + isinθ = (cosθ, sinθ) ( ∵ cosθ^2 + sinθ^2 = 1)
- 단위 복소수에 임의의 복소수를 곱한 값은 다음과 같다.
- (cosθ, sinθ) · (x, y) = (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)
- 임의의 복소수에 단위 복소수를 복하는 것은 복소 평면에서의 회전 변환과 같다.
그림 14-2 복소수를 회전시키는 단위 복소수와의 곱셈
■ 14.2.2 켤레 복소수의 회전 변환
- 복소수와 켤레 복소수
- 임의의 복소수의 켤레 복소수는 임의의 복소수를 실수부 축(Re)을 중심으로 대칭시킨 복소수와 같다.
- 단위 복소수의 켤레 복소수는 단위 복소수를 -θ만큼 회전시킨 복소수와 같다.
- 임의의 복소수 (a, b)에 단위 복소수를 곱하면 반시계 방향으로 회전한다.
- 임의의 복소수 (a, b)에 단위 복소수의 켤레 복소수를 곱하면 시계 방향으로 회전한다.
그림 14-3 임의의 복소수의 켤레 복소수와 단위 복소수의 켤레 복소수
14.3 복소수와 행렬
- 회전을 수행하는 단위 복소수와 2차원 회전 변환 행렬이 같다고 가정하자.
- 실수부에 대응되는 행렬 I는 항등 행렬로 곱셈의 항등원 1과 같다.
- 허수부에 대응되는 행렬 J는 90˚ 회전 변환 행렬로 J·J는 -I와 같다.
수식 14-1 복소수와 행렬의 관계
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